Quelle Nummer 271
Rubrik 28 : TECHNIK Unterrubrik 28.01 : BUECHER
SPANNUNGSOPTIK
A. KUSKE
SPANNUNGSOPTIK IM BAUWESEN
WERNER-VERLAG, DUESSELDORF 1970, S. 65-
001 Allgemeine dreidimensionale Spannungszustände.
002 Das Erstarrungsverfahren. Die Spannungen in Körpern
003 beliebiger Form, bei denen keine vereinfachenden Voraussetzungen
004 getroffen werden können wie z. B. bei Scheiben oder
005 Platten, sind nach den bisher beschriebenen Verfahren nicht zu
006 ermitteln. Bei der Untersuchung der Spannungen in einem
007 dreidimensionalen Fall nach diesen Verfahren könnte man bei der
008 Beobachtung des aus dem Modell austretenden Lichtes nur einen
009 summarischen Effekt beobachten, der durch die Spannungszustände
010 aller Punkte, durch die der Lichtstrahl gegangen ist, verursacht
011 wurde. Da diese Summierung zudem nicht einfach arithmetisch
012 erfolgt, sondern nach komplizierten Gesetzmäßigkeiten (die im
013 Anhang kurz erläutert werden), wäre eine Analysierung dieses
014 Effektes, d. h. seine Aufteilung und Zuordnung zu den
015 einzelnen Punkten des Körpers, nicht möglich. Für die
016 Untersuchung dreidimensionaler Spannungszustände wurde eine Reihe
017 von Verfahren entwickelt, unter denen das sogenannte
018 Erstarrungsverfahren dasjenige ist, das für die meisten Fälle
019 geeignet ist und auch tatsächlich die weitestgehende Anwendung
020 findet. Einige weitere Verfahren sind im Anhang kurz erläutert.
021 Das Erstarrungsverfahren ist in seiner Durchführung im Prinzip
022 denkbar einfach und ermöglicht jedem Anfänger ohne große
023 Vorkenntnisse die Durchführung von dreidimensionalen
024 spannungsoptischen Untersuchungen. Es beruht auf den besonderen
025 Eigenschaften der Kunststoffe, die als Modellwerkstoff verwendet
026 werden, z. B. warmhärtendes Epoxiharz (Lekutherm X 30
027 der Firma Bayer, Leverkusen). Dieses ist bei Zimmertemperatur
028 hart (Elastizitätsmodul = 35000 (Formel)), nach Erwärmung auf etwa
029 135^ C geht es in einen gummiähnlichen Zustand über, wobei es
030 aber rein elastisches Verhalten zeigt mit einem Elastizitätsmodul
031 von nur 200 (Formel). Kühlt man es dann auf Zimmertemperatur ab, so
032 nimmt es seine ursprünglichen Eigenschaften wieder an, verformt
033 man es bei der erhöhten Temperatur durch irgendeine Belastung und
034 läßt es unter dieser Last abkühlen, so behält es die durch die
035 Belastung verursachte Formänderung bei, auch nachdem es im
036 abgekühlten Zustand entlastet wurde. Durch die Belastung im
037 warmen Zustand bzw. Formänderung werden nun auch
038 Doppelbrechungen verursacht, ähnlich wie bei der Belastung im
039 kalten Zustand. Auch diese bleiben nach Entlastung des Modells
040 erhalten. Um den elastischen Verformungszustand nach dem
041 Abkühlen zu untersuchen, entnimmt man dem Modell geeignete
042 Stücke, z. B. kann man Scheiben aus diesem heraussägen.
043 Bei kontinuierlich veränderlicher Spannung ist diese über die
044 Dicke einer solchen Scheibe natürlich auch nicht konstant. Man
045 hat daher die Scheibendicke klein genug zu wählen, daß man die
046 örtlichen Änderungen als linear betrachten kann. Die optischen
047 Effekte geben dann einen Mittelwert über die Dicke wieder oder in
048 etwa die Spannungshöhe in der Mittelebene der ausgeschnittenen
049 Scheibe. Daß die erstarrten Formänderungen und die mit ihnen
050 verbundene Doppelbrechung einem elastischen und nicht etwa einem
051 plastischen Spannungszustand entsprechen, geht daraus hervor, daß
052 sich das Material, wie erwähnt, im erwärmten Zustand rein
053 elastisch verhält und beim Abkühlen keine weiteren
054 Formänderungen oder Änderungen der Doppelbrechung eintreten.
055 Die physikalische Erklärung aller beobachteten Erscheinungen
056 führt auf die Annahme zweier verschiedener Stoffanteile, die in
057 jedem Molekül vereinigt sind, einem elastischen und einem
058 plastischen. Das Modellmaterial verhält sich daher wie - ins
059 Makroskopische übertragen - ein rein elastischer Schwamm, der
060 mit einem Wachs oder ähnlichem Material getränkt ist. Dieses
061 Wachs ist bei Zimmertemperatur hart, so daß der ganze Körper
062 hart wirkt. Mit zunehmender Temperatur wird es weicher und ist bei
063 der Temperatur der völligen Erweichung (135^ C) praktisch
064 flüssig. Es behindert dann die Formänderung nicht mehr, und es
065 wirkt dann nur noch der Elastizitätsmodul des Schwammes allein.
066 Dieser Vergleich erklärt auch die Tatsache, daß, wenn ein
067 erstarrtes Modell oder die Schnitte daraus nochmals auf 135^ C
068 erwärmt werden, die Verformung rückgängig gemacht wird und damit
069 auch die Doppelbrechung wieder verschwindet. Diese Tatsache kann
070 dazu benutzt werden, um räumliche Modelle oder auch
071 Scheibenmodelle durch eine solche Erwärmung wieder zu entspannen
072 und damit die Eigenspannung, die z. B. bei der Bearbeitung
073 in Scheibenmodellen entstehen kann, zu beseitigen. Das erwähnte
074 Gedankenmodell, aus dem sich alle mechanischen Eigenschaften des
075 Materials erklären lassen, gilt auch für sein optisches
076 Verhalten. Jeder der beiden Stoffanteile verursacht einen Teil
077 der gesamten zu beobachtenden Doppelbrechung, und zwar ist dieser
078 Anteil einerseits proportional dem von dem betreffenden Stoffanteil
079 aufgenommenen Teil der Gesamtspannung, andererseits gilt für die
080 beiden Stoffanteile jeweils ein bestimmtes, aber verschiedenes
081 Verhältnis von Spannung zu Doppelbrechung. Auf die weiteren
082 Einzelheiten sei hier nicht eingegangen, sondern auf die Literatur
083 verwiesen[ 1 ]u.[ 2 ]. Die zahlenmäßigen
084 Eigenschaften der Modellwerkstoffe im erwärmten Zustand bedingen
085 gewisse Einschränkungen der Anwendbarkeit des
086 Erstarrungsverfahrens: Diese sind einerseits durch den niedrigen
087 Elastizitätsmodul von 200 (Formel), ferner durch die Querdehnungszahl
088 von 0,5 und die niedrige Zugfestigkeit von nur etwa 10 (Formel)
089 gegeben. Das Verhältnis von Doppelbrechung zu Spannung ist zwar
090 höher als im kalten Zustand, aber das Verhältnis von
091 Doppelbrechung zu Dehnung ist erheblich niedriger. Ein
092 Gangunterschied von einer Wellenlänge des Natriumlichts wird bei
093 einer Schnittstärke von 1 cm bei einer Spannung von 0,3 (Formel),
094 d. h. bei einer relativen Formänderung von 0,15 %,
095 verursacht (d. h. die spannungsoptische Konstante S
096 (math.Op.) 0,3 kp (math.Op.) cm). Um einen gut meßbaren optischen Effekt
097 zu erzielen, ist es daher im allgemeinen erforderlich, die
098 relativen Formänderungen im Modell höher zu wählen als in der
099 Hauptausführung. Störend wirkt sich dies z. B. bei
100 dünnwandigen Körpern, Schalen usw. aus. Bei diesen kann die
101 Veränderung der Form durch die Last so gravierend sein, daß die
102 Übertragung der Ergebnisse fragwürdig werden kann. Die meisten
103 Werkstoffe der Hauptausführung, z. B. Beton, Stahl usw.,
104 haben eine wesentlich niedrigere Querdehnungszahl als der
105 Modellwerkstoff. Wie weit sich dies im einzelnen Fall auf die
106 Spannungsverteilung auswirkt, ist meist schwer zu bestimmen, liegt
107 aber sicher in den meisten Fällen in tragbaren Grenzen (Ausnahme
108 evtl. einige Schalenformen). Optische Vorgänge und
109 Spannungen. Es wurden in Abschnitt 3 beschrieben, daß z.B.
110 bei Scheiben die Größe der Doppelbrechung, die ein
111 polarisierter Lichtstrahl erfährt, proportional der Differenz der
112 Hauptnormalspannungen ist, wenn der Lichtstrahl das Modell
113 senkrecht zu seiner Ebene, d. h. senkrecht zur Ebene der
114 Hauptnormalspannungen, durchdringt. Im Fall von Schnitten, die
115 aus einem dreidimensionalen Modell in der erwähnten Weise
116 ausgeschnitten wurden, kann natürlich im allgemeinen nicht
117 vorausgesetzt werden, daß zwei der drei Hauptnormalspannungen in
118 der Schnittebene liegen. Ihre Lage ist vielmehr zunächst
119 unbekannt. Die Größe der Doppelbrechung ist im allgemeinen
120 dreidimensionalen Fall proportional der Differenz der in der
121 Schnittebene liegenden sogenannten " sekundären
122 Hauptnormalspanunngen ". Deren Bedeutung läßt sich anschaulich
123 erklären: Man stelle sich in dem zunächst unverformten Körper
124 eine kleine Kugel von elementarer Größe vor. Durch die
125 Belastung und die damit verbundenen Formänderungen wird diese
126 Kugel zu einem dreiachsigen Ellipsoid, dessen drei Hauptachsen
127 mit den drei Hauptnormalspannungsrichtungen zusammenfallen. Ein
128 zentraler Schnitt durch dieses Ellipsoid in Richtung der Ebene
129 des Modellschnitts ist dann eine Ellipse, deren Hauptachsen mit
130 den Richtungen der erwähnten sekundären Hauptnormalspannungen in
131 der Schnittebene zusammenfallen. Diese sekundären
132 Hauptnormalspannungen sind also die Normalspannungen für die
133 entsprechenden Schnittrichtungen innerhalb der Ebene des
134 Modellschnitts. Die Doppelbrechung eines Lichtstrahls, der den
135 Schnitt aus dem Modell senkrecht durchdringt und durch die zu
136 beobachtende Isochromatenordnung feststellbar ist, ist nun
137 proportional der Differenz dieser sekundären Hauptnormalspannungen,
138 die in der Ebene senkrecht zur Strahlrichtung bei senkrechter
139 Durchstrahlung, also in der Schnittebene, liegen. Im eben
140 polarisierten Licht beobachtet man hier ebenfalls Isoklinen,
141 ähnlich wie in Scheiben. Diese zeigen dann den Richtungswinkel
142 der sekundären Hauptnormalspannungen in der Schnittebene an. Der
143 Zusammenhang zwischen den ermittelten sekundären
144 Hauptnormalspannungen und den Spannungskomponenten in den
145 Achsrichtungen ist dann folgender: Wählt man ein xyz-
146 Koordinatensystem so, daß die xy-Ebene mit der Ebene
147 eines zu untersuchenden Schnitts zusammenfällt, so erhält man aus
148 den optischen Beobachtungen die Differenz der in dieser Ebene
149 liegenden sekundären Hauptnormalspannung, die mit (Formel) bezeichnet
150 sei, ferner den Richtungswinkel (Formel). Daraus berechnet man
151 einerseits die Schubspannung innerhalb der Schnittebene: (Formel) und
152 andererseits die Normalspannungsdifferenz: (Formel). Das bedeutet,
153 die Zusammenhänge zwischen den Schubspannungen und der
154 Normalspannungsdifferenz einerseits und den optisch ermittelten
155 Daten andererseits sind die gleichen wie bei Scheiben, d.h.
156 , man kann zur Bestimmung der genannten Werte wiederum das
157 Nomogramm Abb. 26 heranziehen. Aus dem bisher Gesagten geht
158 hervor, daß eine Beobachtung eines Modellschnitts in einer
159 Richtung, z. B. senkrecht zur Schnittebene, nur zwei
160 Daten liefert. Zur vollständigen Charakterisierung eines
161 dreidimensionalen Spannungszustandes sind jedoch sechs Werte
162 erforderlich. Dies sind die drei Normalspannungskomponenten (Formel),
163 und die Schubspannungskomponenten (Formel), oder die
164 Hauptnormalspannungen (Formel) und deren Richtungen, die durch drei
165 Winkelangaben gekennzeichnet werden können. Wenn man ein Modell
166 bzw. einen Schnitt aus einem Modell nicht nur in einer einzigen
167 Richtung, sondern in mehreren beobachtet, so kann man
168 grundsätzlich fünf von den erwähnten sechs Werten bestimmen.
169 Dies sind einmal die drei erwähnten Schubspannungen, aber man
170 kann keinen Wert einer Normalspannung, sondern nur Differenzen
171 von Normalspannungen ermitteln, d. h. z. B. (Formel) und
172 (Formel). Die dritte Differenz dieser Art, nämlich (Formel) geht aus den
173 anderen beiden Werten hervor, denn es ist (Formel) (math.Op.) (Formel) (math.Op.) (Formel). Um
174 diese fünf Daten zu erfassen, sind die Modellschnitte also
175 mindestens in drei Richtungen zu beobachten. Die fünf Daten kann
176 man z. B. durch Beobachtung eines Punktes des
177 Modellschnitts in mehreren Richtungen gleichzeitig mit Hilfe
178 konvergenten Lichts finden[ 1 ]oder mit parallelem Licht in
179 mehreren Richtungen nacheinander, worauf im Anhang näher
180 eingegangen ist. Die Beobachtung in Richtung senkrecht zur
181 Schnittebene ist dabei natürlich am einfachsten und man versucht
182 daher - z. B. durch Wahl entsprechender Schnittrichtungen
183 für die Modellschnitte - mit senkrechter Durchleuchtung der
184 Schnitte auszukommen. In vielen Fällen genügt es, in zwei
185 zueinander senkrechten Richtungen zu beobachten, woraus dann durch
186 die Verfahren der vollständigen Spannungsbestimmung, d. h.
187 der Trennung der Hauptnormalspannungen eine Hauptnormalspannung
188 durch Integration bestimmt werden kann und die beiden anderen dann
189 aus den Differenzen entnommen werden können. Es fehlt dann
190 lediglich eine der drei Schubspannungen. Wie man z. B. im
191 Falle der Symmetrie, dadurch, daß man die symmetrischen
192 Hälften in zueinander senkrechten Richtungen schneidet, bei
193 senkrechter Durchleuchtung aller Schnitte für jeden Punkt vier
194 Werte erhält, die in Verbindung mit den Verfahren zur
195 vollständigen Auswertung (Bestimmung der Normalspannungen)
196 ausreichend sind, ist in einem Beispiel (Abschnitt 5 f)
197 beschrieben. (Abb.) In Abb. 54 sind die Spannungen an einem
198 Ausschnitt aus einem allgemeinen dreidimensionalen Spannungszustand
199 dargestellt. Trennung der Normalspannungen und Bestimmung
200 des vollständigen Spannungszustandes. Aus den optischen Daten
201 allein kann der vollständige Spannungszustand dann entnommen werden,
202 wenn geeignete Voraussetzungen bezüglich des Spannungszustandes
203 getroffen werden können, z. B., wenn ein einachsiger
204 oder zweiachsiger Spannungszustand - evtl. näherungsweise
205 - vorausgesetzt werden kann. Zum Beispiel an der lastfreien
206 Oberfläche eines dreidimensionalen Körpers herrscht bekanntlich
207 ein zweiachsiger Spannungszustand, zu dessen vollständiger
208 Bestimmung also nur drei Werte erforderlich sind. Diese können
209 daher aus einer Beobachtung senkrecht zur Oberfläche eines
210 entsprechenden Schnittes und einer parallel zur Oberfläche an dem
211 gleichen Schnitt, soweit dies möglich ist, oder nach Zerlegung
212 des ersten Schnittes in Unterschnitte senkrecht zu seiner
213 ursprünglichen Ebene bestimmt werden. Aus einem Schnitt
214 senkrecht zur Oberfläche allein kann nur die
215 Normalspannungskomponente in Richtung dieses Schnittes entnommen
216 werden, aus einem Schnitt parallel zur Oberfläche dagegen nur die
217 Differenz der beiden Hauptnormalspannungen in der Oberfläche.
218 Um die beiden Hauptnormalspannungen in der Oberfläche zu trennen
219 bzw. um die Normalspannungen in bestimmten Richtungen getrennt
220 zu bestimmen, so daß der Mohrsche Spannungskreis
221 vollständig ermittelt wird, ist es erforderlich, zwei
222 Beobachtungen durchzuführen, um, wie erwähnt, die drei Werte
223 über den Spannungszustand bestimmen zu können. Dies führt man
224 in der Weise durch, daß man z. B. den Schnitt parallel
225 zur Oberfläche dann in Richtung einer Hauptnormalspannung oder
226 auch in einer beliebigen Richtung unterteilt, so daß in den
227 ausgeschnittenen schmalen Streifen, die man dann in Richtung
228 parallel zur Oberfläche durchleuchtet, die Spannung in einer
229 bestimmten Richtung bestimmt werden kann. Andererseits kann man
230 Schnitte, die senkrecht zur Oberfläche entnommen wurden,
231 unterteilen, indem man sie etwa in Streifen prismatischer Form und
232 quadratischen Querschnittes aufteilt und diese Unterschnitte dann
233 in Richtung parallel zur ursprünglichen Scheibenrichtung
234 durchleuchtet. Anstelle der ausschließlich senkrecht zur
235 Scheibenebene erfolgenden Beobachtung bzw. Beobachtung in
236 Richtung senkrecht zu den Ebenen von Unterschnitten, kann man die
237 Modellschnitte auch in verschiedenen Richtungen gleichzeitig oder
238 nacheinander beobachten. Eine solche " Schrägdurchstrahlung "
239 über die ganze Fläche gleichzeitig kann man z. B. durch
240 Eintauchen eines Schnittes in eine entsprechende Küvette oder
241 durch Aufsetzen eines Prismas durchführen. Die gleichzeitige
242 Beobachtung in verschiedenen Richtungen kann mit Hilfe eines
243 Konoskops ausgeführt werden. In allgemeinen Fällen, d.h.
244 in solchen, in denen man keine vereinfachten Annahmen
245 bezüglich des Spannungszustandes treffen kann, zieht man zur
246 vollständigen Bestimmung des Spannungszustandes die
247 Gleichgewichtsbedingung, z. B. die für ein Element, das
248 in Richtung kartesischer Koordinaten ausgeschnitten zu denken ist,
249 heran. Die drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte in den
250 Achsenrichtungen lauten dann: (Formel). Die Bestimmung der
251 Normalspannung erfolgt dann in ganz ähnlicher Weise wie bei
252 Scheiben. Das heißt, man zeichnet zunächst die Linien gleicher
253 Schubspannung und bestimmt die entsprechenden Ableitungen dieser
254 Werte bzw. die Summen dieser Werte für die Spannungen im
255 Falle eines endlichen Ausschnittes. Die graphische Integration
256 der Gleichung (33a) liefert die unbekannte Spannung z. B.
257 (Formel) in einem Punkt 1 im Inneren des Körpers, ausgehend von der
258 bekannten Spannung (Formel) in einem Punkt 0, z. B. einem
259 Punkt der lastfreien Oberfläche. Es ist: (Formel). Aus den
260 beiden anderen Gleichgewichtsbedingungen lassen sich dann zwei
261 weitere Beziehungen dieser Art ableiten. (Abb.) Bei der praktischen
262 Durchführung solcher Auswertungen beschränkt man sich im
263 allgemeinen darauf, die Normalspannungen längs geeigneter Linien
264 zu ermitteln. Dabei kann man dann so vorgehen, daß man durch eine
265 solche Linie zwei Schnitte senkrecht zueinanderlegt, die sich in
266 dieser Linie schneiden. Für die beiden Ebenen zeichnet man dann
267 die Linien *yt (math.Op.) konst. vor allem in der Nachbarschaft des
268 Schnittes und bestimmt aus diesen dann die Neigung der
269 Schubspannung in der zu untersuchenden Linie selber, und zwar in
270 Richtung senkrecht zu dieser Linie. In solchen Fällen
271 zumindestens ist dieses Auswerteverfahren denkbar einfach,
272 jedenfalls nicht komplizierter als bei Scheiben.
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