Quelle Nummer 241
Rubrik 27 : MATHEMATIK Unterrubrik 27.02 : FACHWISSENSCHAFTLICH
STATISTIK
GERHARD CHRISTMANN
STATISTISCHE VERFAHREN
EINE EINFUEHRUNG IN THEORIE UND ANWENDUNG
VERLAG FUER UNTERNEHMENSFUEHRUNG DR. MAX GEHLEN
BADEN-BADEN UND BAD HOMBURG VOR DER HOEHE 1971, 1971
001 Statistische Hypothesenprüfung. Die Aufgabe der
002 statistischen Hypothesenprüfung kann vereinfacht darin gesehen
003 werden, Entscheidungen über bestimmte Eigenschaften von
004 Grundgesamtheiten herbeizuführen, von denen lediglich
005 Stichprobenergebnisse vorliegen. Ein solcher Fall statistischer
006 Entscheidung ist z. B. gegeben, wenn auf Grund einer auf
007 Stichprobenbasis durchgeführten Marktuntersuchung entschieden
008 werden soll, ob der Bekanntheitsgrad oder Marktanteil eines
009 bestimmten Artikels gegenüber einen früheren Zeitpunkt oder
010 gegenüber einem Konkurrenzprodukt konstant geblieben, gesunken
011 oder gestiegen ist. Statistische Fragestellung. Da
012 jede Entscheidung einer Alternative und eines Kriteriums bedarf,
013 wird der zu überprüfende Stichprobenparameter zunächst einem
014 gleichsam als Maßgröße oder Normgröße hypothetisch
015 vorgegebenem Parameter der Grundgesamtheit gegenübergestellt.
016 Über die zwischen dem Stichprobenparameter und dem vorgegebenen
017 Wert der Grundgesamtheit bestehende Beziehung wird alsdann eine
018 der Fragestellung entsprechende Hypothese aufgestellt. Die
019 Entscheidung über Beibehaltung oder Ablehnung der Hypothese wird
020 mit Hilfe einer statistischen Prüfgröße (Test) gefällt, die
021 die Abweichung zwischen dem beobachteten Stichprobenparameter und
022 dem hypothetischen Wert der Grundgesamtheit mißt und als Ergebnis
023 die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der festgestellten Differenz
024 wiedergibt. Da mit wachsendem Abstand zwischen Stichprobenwert
025 und hypothetischem Wert der Grundgesamtheit die Wahrscheinlichkeit
026 geringer wird, daß die Stichprobe der vorgegebenen
027 Grundgesamtheit entstammt, muß der Unterschied ab einer vorher
028 festzulegenden Grenze als " wesentlich " oder " signifikant "
029 bezeichnet werden, d. h., es kann auf Grund des
030 Stichprobenergebnisses nicht behauptet werden, daß die zu
031 untersuchende Grundgesamtheit den hypothetisch vorgegebenen
032 Paramerer besitzt. Geringe Unterschiede, die eine höhere
033 Wahrscheinlichkeit dafür besitzen, daß die Stichprobe der
034 Hypothetischen Grundgesamtheit entstammt, werden, soweit sie die
035 vorher festgelegte Grenze nicht überschreiten, als " zufällig "
036 bezeichnet. Die Entscheidung für " zufällige " oder
037 " wesentliche " Abweichung ist dann zugleich jene für die
038 Beibehaltung oder Ablehnung der aufgestellten Hypothese.
039 Nullhypothese und Alternativhypothese. Die
040 Herbeiführung einer statistischen Entscheidung setzt die
041 Formulierung einer Hypothese voraus, in der bestimmte, jeweils
042 mit der vorliegenden Fragestellung verbundene Eigenschaften der zu
043 überprüfenden Grundgesamtheit festgelegt werden. Die Hypothese,
044 daß die zwischen dem hypothetisch festgelegten Wert der
045 Grundgesamtheit und dem empirisch festgestellten Stichprobenwert
046 bestehende Differenz lediglich auf die Zufallseinflüsse des
047 Stichprobenverfahrens zurückzuführen sei, wird als Nullhypothese
048 bezeichnet und durch das Symbol (Formel) wiedergegeben. Durch die
049 Hypothese (Formel) wird demnach unterstellt, daß der Mittelwert der zu
050 überprüfenden Grundgesamtheit den Wert (Formel) besitzt und die
051 Abweichung eines beobachteten Stichprobenmittelwertes (Formel) vom
052 vorgegebenen Wert (Formel) nur zufällig ist. Die Alternativhypothese,
053 symbolisch mit (Formel) bezeichnet, lautet in diesem Fall (Formel) und
054 beinhaltet als gegenteilige Aussage zu (Formel), daß die Abweichung
055 des Stichprobenmittelwertes (Formel) vom hypothetischen Wert (Formel) nicht
056 mehr Zufallseinflüssen zuzurechnen ist, oder anders ausgedrückt,
057 daß die Stichprobe nicht der Grundgesamtheit mit dem Mittelwert
058 (Formel) entstammen kann, bzw., daß auf Grund des
059 Stichprobenergebnisses nicht angenommen werden kann, daß der
060 Mittelwert der Grundgesamtheit den Wert (Formel) besitzt. Muß auf
061 Grund des Ergebnisses des statistischen Prüfverfahrens (Formel)
062 verworfen werden, so ist (Formel) anzunehmen. Einseitige und
063 zweiseitige Fragestellung. Wird der Hypothese (Formel) die
064 Alternativhypothese (Formel) gegenübergestellt, so wird damit
065 gleichzeitig zum Ausdruck gebracht, daß als Fragestellung
066 lediglich die absolute Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom
067 vorgegebenen Wert der Grundgesamtheit interessiert. In häufigen
068 Fällen kann jedoch gerade die positive oder die negative
069 Abweichung des Stichprobenmittelwertes von besonderer Bedeutung
070 sein. Für diese sog. einseitige Fragestellung kann die
071 Alternativhypothese (Formel) entweder in (Formel) oder in (Formel) aufgespalten
072 werden. Behauptet z. B. ein Hersteller, daß der
073 Ausschußanteil seiner Produktion höchstens 10 % betrage, so
074 hätte es wenig Sinn, diese Behauptung anhand der Hypothese (Formel)
075 gegenüber (Formel) zu überprüfen, da in diesem Fall nur die positiven
076 Abweichungen (Formel) von Bedeutung sind. Die Hypothesen dieser
077 einseitigen Fragestellung müssen demnach (Formel) und (Formel) lauten. Auf
078 die Besonderheiten der einseitigen Fragestellung hinsichtlich des
079 Signifikanzniveaus sei später eingegangen. Fehler erster
080 und zweiter Art - Signifikationsniveau. Auf Grund der
081 wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlage der gesamten
082 Stichprobentheorie kann auch die Ablehnung bzw. Beibehaltung
083 einer Hypothese stets nur eine auf Wahrscheinlichkeiten basierende
084 Entscheidung sein. Wie bereits angedeutet, beruhen die zur
085 Entscheidung verfügbaren statistischen Prüfverfahren auf einem
086 Vergleich des beobachteten Stichprobenwertes mit dem vorgegebenen
087 Wert der Grundgesamtheit, wobei als Ergebnis zunächst die
088 Wahrscheinlichkeit des Auftretens der bestehenden Differenz
089 anfällt. Die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten bestimmter
090 Differenzen zwischen dem hypothetisch vorgegebenen Wert (Formel) der
091 Grundgesamtheit und einem ermittelten Stichprobenmittelwert lassen
092 sich berechnen. Wie aus nachstehender Graphik ersichtlich, sind
093 beispielsweise Abweichungen zwischen beiden Werten bis zu einem
094 Betrage von (Formel) bei 95 % aller Entnahmen eines Elementes (Formel)
095 zu erwarten, während nur in 5 % größere Abweichungen
096 anfallen werden. Soll nun über eine aufgestellte Hypothese (Formel)
097 eine Entscheidung getroffen werden, für Richtigkeit eine
098 Wahrscheinlichkeit von beispielsweise 95 % verlangt wird, so
099 ist zunächst der entsprechende (Formel)-Wert von 1,96 als sog.
100 kritischer Wert festzulegen. Durch den kritischen (Formel)-
101 Wert werden zugleich alle jene Differenzen zwischen
102 Stichprobenwert und hypothetischem Wert der Grundgesamtheit als
103 zufällige Abweichungen festgelegt, die in 95 % aller
104 möglichen Stichproben anfallen werden. Unterschreitet die mit
105 Hilfe des angewandten statistischen Prüfverfahrens errechnete
106 Wahrscheinlichkeit den kritischen (Formel)-Wert von 1,96, so
107 kann, da die festgestellte Abweichung geringer ist als jene
108 größtmögliche, die auf Grund des kritischen (Formel)-Wertes noch
109 als zufällig gelten kann, die Hypothese (Formel) nicht verworfen werden.
110 Ist dagegen der empirisch ermittelte (Formel)-Wert größer als
111 der vorgegebene kritische (Formel)-Wert, so ist die vorhandene
112 Abweichung größer als in 95 % aller möglichen Stichproben
113 erwartet werden kann und die Hypothese (Formel) muß zugunsten der
114 Hypothese (Formel) verworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit für das
115 Zutreffen der Hypothese (Formel) ist in diesem Fall geringer als die
116 geforderte Wahrscheinlichkeit von 95 % also zu gering, um (Formel)
117 weiterhin als plausibel aufrecht erhalten zu können. Der Bereich
118 innerhalb der durch den kritischen (Formel)-Wert gesetzten Grenzen
119 wird als Annahmebereich, der außerhalb liegende Bereich als
120 kritischer Bereich oder Ablehnungsbereich für (Formel) bezeichnet.
121 Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Hypothese (Formel) abgelehnt wird,
122 obwohl sie in Wirklichkeit richtig ist, wird als sog.
123 Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet und durch das Symbol (Formel)
124 wiedergegeben. Der Fehler, (Formel) fälschlicherweise zu verwerfen,
125 wird als Fehler erster Art oder (Formel)-Fehler bezeichnet. In
126 obigem Fall beträgt das Risiko, einen Fehler erster Art zu
127 begehen, (Formel). Durch Festsetzung des Signifikationsniveaus ((Formel)
128 -Wert) kann die Irrtumswahrscheinlichkeit je nach der
129 Bedeutung der Fragestellung variiert werden. Wird die
130 Nullhypothese angenommen, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist,
131 so liegt ein Fehler zweiter Art oder (Formel)-Fehler vor. Der
132 Fehler zweiter Art ist von verschiedenen Faktoren abhängig und in
133 der Regel unbekannt. Wie ersichtlich, nimmt das Risiko, einen
134 Fehler zweiter Art zu begehen, mit geringerwerdendem
135 Sicherheitsgrad ab. Dadurch nimmt jedoch zwangsläufig das Risiko
136 eines Fehlers erster Art zu. Ein Ausweg aus diesem Dilemma
137 bietet zunächst die Vergrößerung der Stichprobenumfanges. In
138 der Praxis gestaltet sich diese Problem insoweit leichter, als es
139 bei den meisten Fragestellungen lediglich einen der beiden Fehler
140 zu vermeiden gilt. Soll beispielsweise die Frage entschieden
141 werden, ob ein neu entwickeltes Produkt (Formel) in einer bestimmten
142 Eigenschaft besser ist als das herkömmliche Produkt (Formel), wobei
143 bejahendenfalls größere Investitionen durchzuführen wären, und
144 wird hierüber die Hypothese (Formel) aufgestellt, so ist ein Fehler
145 erster Art auf Grund seiner kostspieligen Konsequenzen auf alle
146 Fälle zu vermeiden. Deshalb wird ein sehr hohes
147 Signifikanzniveau (eine sehr geringe Irrtumswahrscheinlichkeit)
148 festzulegen sein. Der Fixierung des Signifikanzniveaus kommt
149 somit im Hinblick auf beide möglichen Fehlerarten größte
150 Bedeutung zu. Die ökonomische Praxis legt ihren Fragestellungen
151 in der Regel eine Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) oder von (Formel)
152 zugrunde, was bei einem zweiseitigen Test (Formel)-Werten von 1,
153 96 und 2,00 entspricht. Bei einseitiger Fragestellung
154 entspricht dagegen einer Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) ein (Formel)
155 -Wert von 1,65 bzw. einem (Formel)-Wert von 2,00
156 eine Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel), da als Ablehnungsbereich
157 nur eine der beiden schraffierten Flächen der obigen graphischen
158 Darstellung in Betracht kommt. Abschließend sei noch vermerkt,
159 daß die Nicht-Ablehnung einer Nullhypothese keinesfalls deren
160 Richtigkeit zu beweisen braucht, da es jederzeit möglich ist,
161 daß ein höherer Stichprobenumfang einen wesentlichen Unterschied
162 aufzeigt. Von der Beweisführung her gesehen, wird die Hypothese
163 (Formel) dehalb in der Hoffnung aufgestellt, sie nach korrekter
164 statistischer Überprüfung verwerfen zu können.
165 Überprüfung eines Stichprobenmittelwertes. Wird einer
166 Grundgesamtheit mit unbekannten Parametern eine Stichprobe
167 entnommen, so können sich hieran u. a. folgende Fragen
168 anschließen: die allgemeine Fragestellung, innerhalb welcher
169 Grenzen der wahre Mittelwert (Formel) der Grundgesamtheit unter
170 Zugrundelegung einer bestimmten Irrtumswahrscheinlichkeit zu
171 erwarten ist und die speziellere Fragestellung, ob die
172 Stichprobe unter Zugrundelegung einer bestimmten
173 Irrtumswahrscheinlichkeit einer Grundgesamtheit mit dem
174 arithmetischen Mittel (Formel) entstammen kann, dessen unbekannter
175 numerischer Wert zuvor hypothetisch festgelgt wurde. Die erste
176 Frage ist Gegenstand des Repräsentationsschlusses und bereits
177 behandelt. Die zweite Frage betrifft das Gebiet der statistischen
178 Hypothesenprüfung. Zu ihrer Lösung wird zunächst die
179 Hypothese (Formel) aufgestellt, daß die Stichprobe mit dem Mittelwert
180 (Formel) einer Grundgesamtheit mit dem vorgegebenen Mittelwert (Formel)
181 entnommen wurde. Die Überprüfung dieser Hypothese kann dadurch
182 erfolgen, daß unter Zugrundelegung einer angemessenen
183 Irrtumswahrscheinlichkeit (Formel) mit Hilfe des Inklusionsschlusses
184 (Formel) der Vertrauensbereich für die der hypothetischen
185 Grundgesamtheit zu entnehmenden Stichprobe berechnet wird. Liegt
186 der beobachtete Stichprobenmittelwert innerhalb des
187 Vertrauensbereiches, so kann die aufgestellte Hypothese (Formel) nicht
188 mit der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit verworfen werden.
189 Liegt dagegen der empirische Stichprobenmittelwert außerhalb des
190 Vertrauensbereiches, so muß (Formel) zugunsten von (Formel) aufgegeben
191 werden. Das rechnerische Vorgehen kann jedoch vereinfacht werden,
192 wenn durch Umformung obiger Ungleichung die Prüfgröße (Formel)
193 gebildet wird. Die den einzelnen (Formel)-Werten entsprechenden
194 Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf das Auftreten der Differenz
195 (Formel) unter der aufgestellten Hypothese (Formel) und können der Tabelle
196 auf Seite 142 entnommen werden. Da (Formel) in der Regel
197 unbekannt sein wird, ist es durch die Streuung der Grundgesamtheit,
198 und zwar im Falle " mit Zurücklegen " durch (Formel) und im Falle
199 " ohne Zurücklegen " durch (Formel) zu ersetzen. Soweit auch (Formel)
200 nicht bekannt ist, kann es durch die Varianz (Formel) der Stichprobe
201 als Schätzwert ersetzt werden. Als Prüfgröße für den
202 heterograden Fall " mit Zurücklegen " ergibt sich somit (Formel) bzw.
203 (Formel) Zur Vervollständigung sei noch vermerkt, daß nicht nur
204 ein empirischer Stichprobenwert gegenüber einem hypothetischen
205 Mittelwert der Grundgesamtheit, sondern auch ein bekannter
206 Mittelwert der Grundgesamtheit gegenüber einem hypothetischen
207 Stichprobenmittelwert überprüft werden kann. Letzter Fall ist
208 insbesondere in der Qualitätskontrolle geläufig, wenn z.B.
209 der Ausschußanteil der Grundgesamtheit bekannt ist und die
210 Fragestellung sich auf den Ausschußanteil von Lieferungen
211 erstreckt, die in ihrer Zusammensetzung als Stichproben aus dieser
212 Grundgesamtheit betrachtet werden können. Für den homograden
213 Fall gilt ein analoges Vorgehen. Als Prüfgröße kommt jedoch
214 allein (Formel) in Betracht, da mit der Vorgabe eines hypothetischen
215 Wertes für (Formel) zugleich auch die Varianz (Formel) der Grundgesamtheit
216 festgelegt ist. Die aufgestellte Nullhypothese ist im homograden
217 als auch heterograden Fall zu verwerfen, wenn der empirisch
218 ermittelte (Formel)-Wert im Ablehnungsbereich liegt, dieser also
219 größer als der der vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit (Formel)
220 entsprechende Wert von (Formel) ist. Beispiel 1:. Zwischen
221 einem Hersteller und seinem Abnehmer wurde vereinbart, daß eine
222 Lieferung abgelehnt werden kann, wenn sich in einer Stichprobe,
223 die jeweils 5 % einer Lieferung umfaßt, mehr als 3 %
224 Ausschuss befinden. Der Ausschußanteil der Produktion wird vom
225 Hersteller mit 2 % angegeben. Wie groß ist die
226 Wahrscheinlichkeit, daß eine Lieferung von 2000 Stück
227 zurückgewiesen wird. Lösung:. (Formel). (Formel). Einem (Formel)-
228 Wert von 0,71 entspricht eine Wahrscheinlichkeit von 51,
229 60 %, die die Annahmewahrscheinlichkeit der Lieferung
230 darstellt. Da die Lieferung nur abgelehnt wird, soweit sie mehr
231 als 3 % Ausschuß enthält (einseitige Fragestellung!),
232 beträgt somit die Wahrscheinlichkeit für eine Ablehnung der
233 Sendung 24,20 %. Beispiel 2:. Ein
234 Versicherungsunternehmen hat für ein bestimmtes Risiko die
235 Prämie unter der Annahme von 550 -l DM Kosten pro
236 Schadensfall kalkuliert. Nach Ablauf mehrerer Monate ergab eine
237 aus den angefallenen Schadensfällen gezogene Stichprobe vom
238 Umfang (Formel) einen durchschnittlichen Betrag von 562 -l DM pro
239 Schadensfall, wobei die Varianz 100 -l DM betrug. Kann mit
240 einer Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) immer noch angenommen werden,
241 daß der Durchschnittsschaden bei 550 -l DM liegt?
242 Lösung:. (Formel): Der Durchschnittsschaden beträgt 550 -l
243 DM. (Formel): Der Durchschnittsschaden beträgt nicht 550 -l DM.
244 (Formel). (Formel). Die Nullhypothese kann nicht aufrecht gehalten werden.
245 Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) kann somit nicht
246 angenommen werden, daß der Durchschnittsschaden bei 550 -l DM
247 liegt. Beispiel 3:. Ein Meinungsforschungsinstitut
248 stellte vierzehn Tage vor einer Landtagswahl bei insgesamt 1600
249 zufällig ausgewählten und befragten Personen fest, daß hiervon
250 720 Personen der Partei A ihre Stimme zu geben beabsichtigen.
251 Die Partei A selbst rechnete zu diesem Zeitpunkt mit einem
252 Stimmenanteil von 51 %. Kann diese Annahme auf Grund des
253 Stichprobenergebnisses weiterhin mit einer
254 Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) aufrecht erhalten werden?
255 Lösung:. (Formel): Der Anteil der Stimmen beträgt 51 %.
256 (Formel): Der Stimmenanteil beträgt keine 51 %. (Formel). (Formel). Die
257 Hypothese (Formel) kann nicht verworfen werden. Die Partei A kann
258 somit auf Grund dieses Stichprobenergebnisses mit einer
259 Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1 % weiterhin annehmen,
260 daß ihr Stimmenanteil 51 % betrage. Beispiel 4:.
261 Bei einer Fertigung betrage die Ausschußquote auf Grund
262 langjähriger Erfahrung 10 %. Die unsortierten Produkte
263 dieser Fertigung werden in Behälter zu je 160 Stück abgepackt.
264 Der Inhalt jeden Behälters kann als Stichprobe aus der gesamten
265 Produktion betrachtet werden. In einem nach einem Zufallsmodus
266 entnommenen Behälter wurden insgesamt 24 Ausschußstücke
267 festgestellt. Kann auf Grund dieses Ergebnisses mit einer
268 Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) auf eine Veränderung in der
269 Fertigung geschlossen werden? Wieviel Ausschußstücke
270 müßten in einem Behälter mindestens aufgefunden werden, um mit
271 einer Irrtumswahrscheinlichkeit von (Formel) auf eine Verschlechterung
272 in der Fertigung schließen zu können? Lösung:.
273 (Formel): Die Ausschußquote hat sich nicht geändert. (Formel): Die
274 Ausschußquote hat sich verändert. (Formel). (Formel). Die Nullhypothese
275 kann nicht beibehalten werden. Mit der vorgegebenen
276 Irrtumswahrscheinlichkeit kann somit nicht länger angenommen werden,
277 daß sich die Fertigung qualitätsmäßig nicht geändert hat.
278 Inklusionsschluß. Einseitige Fragestellung. (Formel).(Formel).
279 Soweit in einem Behälter mindestens 23 schlechte Stücke gefunden
280 werden, kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5
281 % auf eine Verschlechterung in der Fertigung geschlossen werden.
282 Beispiel 5:. Ein Marktforschungsinstitut stellte in
283 einer 900 Haushalte umfassenden Stichprobe fest, daß hiervon 162
284 Haushalte ständig einen bestimmten Artikel verbrauchen, für den
285 sie monatlich einen Durchschnittsbetrag von 5,20 DM aufwenden.
286 Die Varianz betrug 4 -l DM. Kann der Hersteller dieses
287 Artikels mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %
288 annehmen, daß 20 % aller Haushalte zu seinen Abnehmern
289 zählen und die monatliche Durchschnittsausgabe für den Artikel 5,
290 50 DM beträgt? Lösung:. Die Aufgabe zerfällt
291 in einer homograde und eine heterograde Fragestellung. (Formel):
292 Der Artikel wird von 20 % der Haushalte gekauft. (Formel): Der
293 Artikel wird nicht von 20 % der Haushalte gekauft. (Formel). (Formel).
294 Mit einer höchstzulässigen Irrtumswahrscheinlichkeit von 5
295 % kann somit die Annahme, daß der fragliche Anteil 20 %
296 betrage, nicht verworfen werden. (Formel): Die
297 Durchschnittsausgabe beträgt 5,50 DM. (Formel): Die
298 Durchschnittsausgabe beträgt nicht 5,50 DM. (Formel). (Formel).
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