Quelle Nummer 103
Rubrik 27 : MATHEMATIK Unterrubrik 27.02 : FACHWISSENSCHAFTLICH
INTERWALLWERTIGE FUNKTIONEN
H. RATSCHEK/G. SCHROEDER
UEBER DIE ABLEITUNG VON INTERWALLWERTIGEN FUNKTIONEN
IN: ARCHIV FUER ELEKTRONISCHES RECHNEN
BAND 7, HEFT 3-4, WIEN/NEW YORK 1971, S. 172-180
001 Über die Ableitung von intervallwertigen Funktionen.
002 Zusammenfassung. Über die Ableitung von
003 intervallwertigen Funktionen. In der vorliegenden Arbeit wird
004 der Versuch unternommen, den Ableitungsbegriff für
005 Intervallfunktionen reellen Arguments zu präzisieren. Hierzu
006 wurden Ableitungsverfahren für mengenwertige Funktionen, für
007 Funktionen auf BANACH-Räumen, linearen topologischen
008 Räumen und uniformen Räumen als Grundlage herangezogen.
009 Einleitung. Durch eine Reihe von Untersuchungen, die von
010 verschiedenen mathematischen Disziplinen ausgegangen sind, ist es
011 möglich geworden, tiefer in die algebraische Struktur der
012 Intervallarithmetik einzudringen und sie als brauchbares
013 Hilfsmittel für die Beschreibung und Durchführung numerischer
014 Probleme und Prozesse heranzuziehen. Gewisse Probleme des
015 intervallanalytiscen Kalküls scheinen jedoch bis jetzt nicht
016 angeschnitten worden zu sein. Dazu zählt der Begriff der
017 Ableitung von Intervallfunktionen (kurz: I-Funktionen),
018 im Gegensatz zur Begriffsbildung des Bh Integrals einer I
019 -Funktion, man vgl.[ 12 ]. Einige Ansätze sind
020 wohl vorhanden. Z. B. erklären
021 APOSTOLATOS-KULISCH in[ 1 ]die Ableitung
022 von rationalen I-Funktionen, also einer speziellen Klasse von
023 I-Funktionen. MOORE erwähnt in[ 14 ]reelle
024 Funktionen bzw. ihre Ableitungen deren Graphen von Graphen von
025 Intervallpolynomen bzw. ihren Ableitungen (nach[ 1 ])
026 überdeckt werden. SUNAGA hingegen findet in[ 20 ]das
027 Konzept einer Differentiation im Zusammenhang mit I-
028 Funktionen " unrealistisch " und definiert unter Zuhilfenahme von
029 Intervallfunktionalen den Begriff des
030 Differentialkoeffizienten einer reellen Funktion auf einem
031 Intervall, wobei die Funktion als differenzierbar
032 vorausgesetzt wird. ORTOLF stellt in[ 15 ]nur fest,
033 daß " eine so wichtige Abbildung wie die der Multiplikation mit
034 einem konstanten Intervall in einigen Punkten keine FR
035 CHET-Ableitung besitzt ". Bemerkenswert erscheint auch
036 die Tatsache, daß es möglich ist, I-Funktionen zur
037 Lösung von Differentialgleichungen heranzuziehen, ohne sich mit
038 der Ableitung einer I-Funktion auseinandersetzen zu müssen.
039 Doch ohne den Begriff des Integrals einer I-Funktion scheint
040 man dabei nicht auszukommen, man vgl. z. B.[ 12, 13,
041 19 ]. Auch in Überblicksaufsätzen, die in jüngerer Zeit
042 erschienen sind, wird die Ableitung einer I-Funktion nicht
043 erwähnt[ 9 ]. Zur Differentation von Polynomstreifen vgl.
044 man KRU+*CKENBERG[ 25 ]. In der
045 vorliegenden Arbeit stellen wir verschiedene Möglichkeiten der
046 Ableitungsbildung für I-Funktionen mit reellem Argument zur
047 Diskussion. Diese Varianten haben ihren Ursprung in
048 Ableitungsverfahren, die für vektorwertige und
049 mengenwertige Funktionen, für Funktionen über BANACH-
050 Räumen, topologischen und uniformen Räumen entwickelt worden
051 sind. Durch den RADSTRÖMschen Einbettungssatz[ 16 ]
052 ist es z. B. möglich, die Menge der Intervalle
053 hinsichtlich der Addition in einen BANACH-Raum
054 einzubetten, so daß die für BANACH-räume bestehenden
055 Ableitungsverfahren auf I-Funktionen übertragen werden
056 können. Der kritische Punkt bei fast allen Verfahren dürfte die
057 Forderung nach der Linearität der Ableitung sein. Man vgl.
058 WEHRLI in[ 21 ]: " Die Linearität der
059 Differentiation (Anm.: gemeint ist hier die Ableitung in
060 einem Punkt) ist aber eine Forderung, der anscheinend jedes
061 sinnvolle Konzept von Differentialrechnung genügen muß. "
062 Diese Forderung mag für lineare Räume gelten, sie jedoch für
063 die Intervallarithmetik aufrecht zu erhalten, scheint ihrer
064 Struktur nicht angepaßt zu sein. Es ist ja nicht einmal die
065 einfache Abbildung (Formel) konstant, (Formel) linear. I (Formel) bedeutet die
066 Menge aller reellen beschränkten abgeschlossenen Intervalle (nur
067 solche werden üblicherweise betrachtet) über (Formel), der menge der
068 reellen Zahlen. Und wir glauben, daß höchstens jene
069 Ableitungsverfahren für die Intervallarithmetik bedeutsam sein
070 dürften, die nicht unbedingt die Linearität der Ableitung
071 fordern. Schließlich haben wir noch die Arbeiten von
072 GÄHLER und FRÖHLICHER-BUCHER auf ihre
073 Anwendbarkeit hinsichtlich I-Funktionen überprüft.
074 GÄHLER führt in[ 23 ]verallgemeinerte Ableitung für
075 Abbildungen von topologischen Räumen in topologische Räume
076 mittels sogenannter Linsenfamilie und Radialstrukturen
077 ein. Wir wollen an dieser Stelle nur erwähnen, daß die
078 Übertragung der wichtigsten Modelle von Linsenfamilien und
079 Radialstrukturen auf I-Funktionen zur FRCHET-
080 Ableitung einerseits, anderseits zu gewissen topologischen
081 " Verzerrungen " von ihr, führt. Sei z. B. (Formel), so ist
082 ein Abteilungsmodell gegeben durch (Formel), für (Formel) und alle (Formel).
083 Das Symbol (Formel) bedeutet die Subtration in jenem BANACH-
084 Raum, in den I (Formel) eingebettet wird; Einzelheiten darüber
085 findet man in Abschnitt 2. FRÖHLICHER BUCHER
086 untersuchen die Ableitungen von Funktionen über
087 pseudotopologischen Räumen[ 6 ]. Dabei gehen im Spezialfall
088 von normierten Räumen die von diesen Autoren vorgeschlagenen
089 Ableitungsdefinitionen in die klassischen über. Bekanntlich
090 treten bei der Definition höherer Ableitungen in linearen
091 topologischen Räumen gewisse Schwierigkeiten auf. Um diese zu
092 umgehen, wurde ein Differentialkalkül in linearen limitierten
093 Räumen entwickelt. Man vgl. hierzu[ 4 ]. Auf
094 entsprechende Probleme in der Intervallanalysis gehen wir in der
095 vorliegenden Arbeit nicht ein. Zusammenfassend wollen wir
096 festhalten, daß von den in der vorliegenden Arbeit aufgeführten
097 Ableitungsverfahren das von FRCHET, die
098 Weiterentwicklung nach HERMES und die Auffassung der
099 Ableitung als Menge von abgeleiteten Punktfunktionen für die
100 Intervallarithmetik interessant sein dürfte. Die zwei
101 letztgenannten Versionen stimmen für Intervallpolynome mit der
102 bereits erwähnten Ableitung von APOSTOLATOS-
103 KULISCH überein. Zumindest wird es wohl kaum möglich sein,
104 nur mit einer Definition einer Ableitung auszukommen,
105 und wir glauben auch, daß zu jeder Ableitungsvariante von I-
106 Funktionen eine praktische Anwendung vorhanden ist, für die diese
107 Variante unzugänglich ist. Durch den Radströmschen
108 Einbettungssatz bedingte Ableitungen. Um die Theorie der
109 BANACH-Räume ohne Einschränkung und ohne Modifikation
110 der Begriffsbildungen auf die Intervallarithmetik anwenden zu
111 können, nehmen wir gegebenenfalls die folgende auf
112 RADSTRÖM[ 16 ]zurückgehende Einbettung vor. Die
113 Menge (Formel) bildet einen Vektorraum (Formel) über (Formel), wenn in (Formel) die
114 Addition (Formel) und die skalare Multiplikation (Formel) erklärt
115 ist. Wir betrachten (Formel), die Menge aller Intervalle hinsichtlich
116 der Addition, wir fassen (Formel), die Menge der positiven reellen
117 Zahlen, als Skalarbereich von *zs auf, und gestatten in ihm die
118 reelle Addition und Multiplikation als Verknüpfung. Wir
119 erklären eine skalare Multiplikation (Formel). Nach
120 RADSTRÖM ordnen wir nun jedem Intervall (Formel) den Punkt (Formel)
121 aus (Formel) zu, der Skalarbereich (Formel) wird mittels der
122 Inklusionsabbildung in den Skalarbereich (Formel) abgebildet. Man
123 erkennt ohne weiteres, daß diese Zuordnung eine Einbettung des
124 Komplexes *zs über (Formel) in den Vektorraum (Formel) ist; und zwar
125 hinsichtlich der zwei Verknüpfungen im Skalarbereich (Formel), der
126 skalaren Verknüpfung und der Intervalladdition. Wir
127 bezeichnen nach[ 5 ]diese Einbettung mit *yp. (Ähnlich
128 verfährt ORTOLF[ 15 ], wobei die gesamte
129 Intervallarithmetik, d. i. das algebraische System (Formel), in
130 ein geeignetes algebraisches System mit der Trägermenge (Formel)
131 eingebettet wird.) Bemerkung. In der
132 Intervallarithmetik bezeichnet man (Formel) (Formel) gerne mit c (Formel). Wir
133 schreiben dafür (Formel), wobei (Formel) ein Punktintervall bedeutet, um
134 Verwechslungen mit vorzubeugen. Für Intervallpolynome
135 schreiben wir also (Formel). Aus dem RADSTRÖMSCHEN Satz
136 folgt ebenso, daß die Einbettung *yp isometrisch erfolgen kann.
137 Sei auf *zs (über (Formel)) eine Metrik *yd erklärt. Dann kann man
138 *yd zu einer Metrik *yj auf (Formel) erweitern. Seien (Formel) und (Formel),
139 dann ist *yj erklärt durch (Formel) und (Formel). Im Falle der
140 HAUSDORFF-Metrik (Formel) auf I (Formel), die gegeben ist durch
141 (Formel), erhalten wir als Erweiterung (Formel). Wir legen in unseren
142 Betrachtungen, um uns nicht zu sehr ins Abstrakte zu verlieren,
143 die die HAUSDORFF-Metrik induzierende Maximums-
144 Norm zugrunde, jene ist aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit
145 in der Intervallarithmetik wohl am meisten verbreitet. Dessen
146 ungeachtet sind die vorliegenden Ausführungen von einer speziellen
147 Normierung unabhängig, die Maximums-Norm kann also stets
148 durch andere Normen über (Formel) ersetzt werden. Man vgl.[ 10
149 ]: Alle linearen normierten Raume von gegebener endlicher
150 Dimension sind isomorph und homöomorph. Die von uns benützte
151 Normkonvergenz ist in (Formel) gleichwertig der schwachen Konvergenz,
152 man vgl.[ 10 ]. (Formel) ist vollständig und reflexiv[ 22 ].
153 Man stellt fest, daß eine Folge von Intervallen (als Folge
154 von Punkten des (Formel) aufgefaßt) im Konvergenzfalle gegen ein
155 Intervall (also einen Punkt des (Formel), dem Intervall entspricht)
156 konvergiert. *zs (über (Formel)) ist also gewissermaßen vollständig
157 (als Teilkomplex des (Formel)) hinsichtlich jeder Art von durch
158 Normen über (Formel) induzierten Metriken. Da Verwechslungen
159 auftreten können zwischen der Umkehroperation der in BANACH
160 -Räumen erklärten Addition und der Subtraktion von
161 Intervallen, und da diese zwei Verknüpfungen wesentlich
162 verschieden sind, schreiben wir (Formel) für die BANACH-Raum
163 -Subtraktion und (Formel) für die Intervallsubtraktion. Außerdem
164 benötigen wir die auf (Formel) wie folgt erklärte HUKUHARA-
165 Differenz (Formel), man vgl.[ 5 ]: (Formel). Man erkennt, daß
166 (Formel) genau dann existiert, wenn (Formel) ist, mit (Formel) (Länge eines
167 Intervalls). man vgl. hierzu[ 17 ]. C ist dann die
168 einzige Lösung der Gleichung (Formel). Das Aufsuchen einer
169 Ableitung führt zum Teil zu linearen Abbildungen. Diese sind
170 darstellbar durch Matrizen, man vgl.[ 22 ], so daß in
171 unserem Falle gilt: (Formel). (Seien allgemein M, N zwei Mengen
172 bzw (vp Vektorräume über (Formel), so bezeichne[ M, N ]bzw.
173 L[ M, N ]die Menge aller Abbildungen bzw. aller
174 linearen Abbildungen von M in N.) Wir werden von dieser
175 Ersetzung Gebrauch machen. Uns stehen nun sämtliche
176 Ableitungsverfahren, die man in BANACH-Räumen oder in
177 linearen topologischen Räumen kennt, für die Anwendung auf I
178 -Funktionen zur Verfügung. Einen guten Überblick geben hier
179 zwei Artikel von AVERBUKH-SMOLYANOV[ 3, 4
180 ], die 25 Ableitungsverfahren in solchen Räumen behandeln, und
181 ein Artikel von BANKS-JACOBS, der sich mit einigen
182 neueren Verfahren beschäftigt[ 5 ]. Ein großer Teil dieser
183 Varianten stimmen für auf (Formel) erklärte vektorwertige Funktion
184 überein. Die FRCHET-Ableitung (F-
185 Ableitung). Auf diese gehen wir etwas genauer ein, um die
186 Schwierigkeiten zu demonstrieren, die allgemein bei der Definition
187 von Ableitungen von I-Funktionen auftreten. Die F-
188 Ableitung ist für Funktionen aus (Formel) üblicherweise
189 folgendermaßen erklärt, man vgl. z. B.[ 11 ]:
190 Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt G an der Stelle x F-
191 differenzierbar, wenn ein linearer Operator (Formel) und ein (Formel) mit (Formel)
192 und lim (Formel) vorhanden ist, so daß für alle h aus einer Umgebung
193 U (0) gilt: (Formel). (Formel) heißt F-Ableitung von G an der
194 Stelle x. BANKS-JACOBS leiten hiervon den Begriff
195 der *yp-Differenzierbarkeit für mengenwertige Funktionen
196 (multifunctions), deren Werte Teilmengen eines linearen reflexiven
197 Raumes sind, ab, man vgl.[ 5 ]. Übertragen auf I-
198 Funktionen lautet die Definition der *yp-Differenzierbarkeit,
199 der wir noch, den Grundlagen von AVERBUKH-
200 SMOLYANOV[ 4 ]und WEHRLI[ 21 ]folgend,
201 den Begriff der *yp-Ableitung hinzufügen: Definition
202 (*yp-Ableitung). Sei (Formel) offen, (Formel), sei *yp
203 die Einbettung von *zs (über (Formel)) in (Formel). Dann heißt G an der
204 Stelle x *yp-differenzierbar, wenn (Formel) F-differenzierbar
205 in x ist[ Es sei (Formel) ]. Besitzt (Formel) in x die F-
206 Ableitung (Formel), so nennen wir (Formel) die *yp-Ableitung von G an
207 der Stelle x.Wir haben eine Einbettung *yp von *zs in (Formel)
208 vorgenommen, um einwandfrei eine F-Ableitung angeben zu
209 können. Das nächstliegende Problem ist es wohl nun, die
210 erhaltenen Ergebnisse in den Raum I (Formel) zurückzuführen, etwa
211 auf die folgende Art: Sei (Formel) mit (Formel). Dann sei die F-
212 Ableitung von G gleich (Formel). Beispiel. Sei (Formel), so ist
213 (Formel) für (Formel) und (Formel) für (Formel) ist überall *yp-differenziebar
214 außer an der Stelle 0 und besitzt die *yp-Ableitung bzw.
215 .Also existiert für G an den Stellen (Formel) eine F-
216 Ableitung, nämlich[ 0, 1 ]; doch besitzt in I (Formel)
217 kein Urbild, also G nach dem oben gemachten Vorschlag auch keine
218 F-Ableitung für (Formel). Man sieht wohl deutlich, daß dieses
219 Konzept nicht befriedigt. Es empfiehlt sich daher, auf die
220 Forderung zu verzichten, ein Intervall als F-
221 Ableitung zu erhalten, sondern für sie jeden Punkt aus (Formel)
222 zuzulassen. Wir stimmen in diesem Falle mit dem Standpunkt von
223 ORTOLF[ 15 ]überein, die Intervallarithmetik als
224 Teilkomplex der verallgemeinerten Intervallarithmetik zu behandeln.
225 In diesem Sinne bringen wir einen Vorschlag für eine
226 Definition der F-Ableitung von I-Funktionen. Um nicht
227 mit Einbettungen operieren zu müssen, legen wir den Vektorraum
228 (Formel) über (Formel) für den Abschnitt 2 wie folgt fest: Die
229 Trägermenge von (Formel) sei (Formel). Für Elemente (Formel) schreiben
230 wir auch (Formel). Wir erklären die Addition entsprechend und die
231 skalare Multiplikation (Formel) entsprechend. Man hat die Freiheit,
232 weitere Verknüpfungen, z. B. die intervallarithmetischen
233 in I (Formel) zu erklären (als partielle algebraische Verknüpfungen
234 auf (Formel)), oder diese auf ganz (Formel) fortzusetzen, wie es
235 ORTOLF[ 15 ]ausführt. Die Umkehroperation der
236 Addition bezeichnen wir wieder mit (Formel). Mittels der Maximums-
237 Norm wird (Formel) zu einem reflexiven vollständigen BANACH-
238 Raum. Definition (F-Ableitung von I-
239 Funktionen). Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt F an der Stelle
240 x F-differenzierbar, wenn ein Punkt (Formel) und eine Abbildung
241 (Formel) mit (Formel) und lim (Formel) für (Formel) vorhanden ist, so daß für alle h
242 aus einer Umgebung (Formel) gilt: (Formel). (Formel) heißt die F-
243 Ableitung von G an der Stelle x. Existiert (Formel) für alle (Formel),
244 so heißt die Abbildung (Formel) Ableitung von G in N. Wir
245 schließen die folgenden Aussagen an; die erste wurde von[ 5
246 ]übernommen, die zweite ist einfach beweisbar. Satz
247 Sei (Formel) für (Formel). Dann ist (Formel) G an der Stelle x genau
248 dann F-differenzierbar, wenn f und g an der Stelle x
249 differenziebar sind, und es ist (Formel). Für spätere Vergleiche
250 mit weiteren Ableitungsverfahren benötigen wir das folgende
251 unmittelbar einsichtige Korollar Sei (Formel) F-
252 differenzierbar auf M. Dann ist (Formel) genau dann ein Intervall,
253 wenn (Formel) ist, d. h. wenn (Formel) in einer Umgebing (Formel) eine
254 nichtabnehmende Funktion von x ist. x-Ableitung.
255 Beispiel. Für (Formel), ist (Formel). Die GATEAU+
256 Diese sehr verbreitete Ableitung stimmt für Funktionen (Formel) mit
257 der F-Ableitung überein, man vgl.[ 4 ], deshalb
258 führen wir die Definition nicht an. Auch jene Version der
259 GATEAUX-Ableitung, bei der die schwache Konvergenz
260 (anstelle der Normkonvergenz) für die bei der Definition
261 auftretende Limes-Operation herangezogen wird, stimmt mit der
262 erstgenannten Version überein, da in endlichdimensionalen Räumen
263 Normkonvergenz und schwache Konvergenz äquivalent sind, man vergl.
264 [ 10 ]. Die konische Differenzierbarkeit. Wir
265 übertragen diesen Begriff, der für mengenwertige Funktionen
266 erklärt wird[ 5 ], auf I-Funktionen. Wir begnügen uns
267 jedoch mit der Angabe der Definition, da die konische
268 Differenzierbarkeit nicht ausschließlich eine Eigenschaft der
269 betreffenden I-Funktion ist, sondern noch eine Abhängigkeit
270 von der Wahl der Basis von (Formel) (als Vektorraum aufgefaßt)
271 vorhanden ist, wie ein Beispiel zeigen wird. Definition
272 Sei (Formel) offen, (Formel). Sei u eine Basis von (Formel), und es
273 existiere die F-Ableitung (Formel). Dann heißt G an der Stelle
274 x konisch differenzierbar, wenn (Formel) ein Intervall ist.
275 Beispiel. Sei (Formel) in (Formel). Dann ist (Formel). Sei nun 1 die
276 Basis von (Formel), so ist (Formel), und G ist in x konisch differenzierbar.
277 Wählt man hingegen - 1 zur Basis, so ist G in x wegen (Formel)
278 nicht konisch differenziebar. Die HUKUHARA-
279 Ableitung (Hk-Ableitung). HUKUHARA gibt eine
280 Ableitungsversion, man vgl.[ 5 ], die für I-
281 Funktionen die folgende Form hat: Definition
282 Sei (Formel) offen, (Formel). Dann heißt G an der Stelle x Hk-
283 differenzierbar, wenn es ein Intervall (Formel) gibt, so daß (Formel) ist.
284 (Formel) heißt die Hk-Ableitung von G in x. Der folgende
285 Satz, der sich auf Aussagen von[ 5 ]und auf Korollar
286 zurückführen läßt, zeigt, daß die Hk-Ableitung für I
287 -Funktionen nicht von Bedeutung sein dürfte.
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