§ 11. In der That bedürfen wir noch solcher Functionen. Wenn sich die Gleichsetzung von inline-Formel i_p1011t-0002 in Original-Notation mit ‚Δ‘ allgemein hätte aufrecht erhalten lassen2, so hätten wir in der Form inline-Formel i_p1011t-0021 in Original-Notation einen Ersatz für den
Seite 19
bestimmten Artikel der Sprache. Angenommen nämlich, es wäre Φ(ξ) ein Begriff, unter den der Gegenstand Δ und nur dieser fiele, so wäre inline-Formel i_p1011t-0047 in Original-Notation das Wahre und mithin wäre auch inline-Formel i_p1011t-0065 in Original-Notation das Wahre und zufolge unserer Gleichsetzung von inline-Formel i_p1011t-0088 in Original-Notation und ‚Δ‘ wäre inline-Formel i_p1011t-0104 in Original-Notation dasselbe wie Δ; d. h. in dem Falle, dass Φ(ξ) ein Begriff ist, unter den ein und nur ein Gegenstand fällt, bezeichnete inline-Formel i_p1011t-0128 in Original-Notation diesen Gegenstand. Dies ist nun freilich nicht möglich, weil jene Gleichsetzung in ihrer Allgemeinheit fallen gelassen werden musste; aber wir können uns helfen, indem wir die Function
Formel f101901 in Original-Notation
mit der Bestimmung einführen, dass zwei Fälle unterschieden werden: Danach ist inline-Formel i_p1011t-0193 in Original-Notation das Wahre, und es bedeutet inline-Formel i_p1011t-0209 in Original-Notation dann den unter den Begriff Φ(ξ) fallenden Gegenstand, wenn Φ(ξ) ein Begriff ist, unter den ein und nur ein Gegenstand fällt; in allen andern Fällen bedeutet inline-Formel i_p1011t-0238 in Original-Notation dasselbe wie inline-Formel i_p1011t-0251 in Original-Notation. So ist z. B. inline-Formel i_p1011t-0263 in Original-Notation das Wahre, weil 2 der einzige Gegenstand ist, der unter den Begriff
  1. was um 3 vermehrt 5 ergiebt
fällt — eine geeignete Definition des Pluszeichens dabei vorausgesetzt —. Es ist inline-Formel i_p1011t-0300 in Original-Notation das Wahre, weil unter den Begriff Quadratwurzel aus l nicht nur ein einziger Gegenstand fällt. Es ist inline-Formel i_p1011t-0337 in Original-Notation das Wahre, weil unter den Begriff sich selbst ungleich kein Gegenstand fällt. Es ist inline-Formel i_p1011t-0366 in Original-Notation, weil die Function ξ+3 kein Begriff ist.Hierin haben wir einen Ersatz für den bestimmten Artikel der Sprache, der dazu dient, aus Begriffswörtern Eigennamen zu bilden. Wir bilden z. B. aus den Worten
  1. ‚positive Quadratwurzel aus 2‘,
die einen Begriff bedeuten, den Eigennamen
  1. ‚die positive Quadratwurzel aus 2‘.
Hier ist eine logische Gefahr. Denn wenn wir aus den Worten ‚Quadratwurzel aus 2‘ den Eigennamen ‚die Quadratwurzel aus 2‘ bilden wollten, begingen wir einen logischen Fehler, weil dieser Eigenname ohne weitere Festsetzung zweideutig1 und eben darum bedeutungslos wäre. Wenn es keine Irrationalzahlen gäbe, was ja behauptet worden ist, so wäre auch der Eigenname ‚die positive Quadratwurzel aus 2‘ bedeutungslos, wenigstens
Seite 20
dem unmittelbaren Wortsinne nach, ohne besondere Festsetzung. Und gäben wir diesem Eigennamen eigens eine Bedeutung, so hätte diese keinen Zusammenhang mit seiner Bildung, und es dürfte nicht geschlossen werden, dass sie eine positive Quadratwurzel aus 2 wäre, und doch wären wir nur zu geneigt, das zu folgern. Diese Gefahr des bestimmten Artikels ist hier nun ganz vermieden, da inline-Formel i_p1011t-0430 in Original-Notation immer eine Bedeutung hat, mag nun die Function Φ(ξ) kein Begriff sein, oder ein Begriff, unter den mehr als ein oder kein Gegenstand fällt, oder mag sie ein Begriff sein, unter den ein und nur ein Gegenstand fällt.

2 Vergl. Anm. 1.

1 Ich nehme dabei als zugestanden an, dass es negative und irrationale Zahlen gebe.