§ 10. Dadurch, dass wir die
Zeichenverbindung 
als gleichbedeutend mit 
hingestellt haben, ist freilich die Bedeutung eines Namens wie
noch
keineswegs vollständig festgestellt. Wir haben nur ein Mittel,
einen Werthverlauf immer wiederzuerkennen, wenn er durch einen
Namen wie 
bezeichnet ist, durch welchen er schon als Werthverlauf erkennbar
ist. Aber weder können wir bis jetzt entscheiden, ob ein
Gegenstand, der uns nicht als solcher gegeben ist, ein
Werthverlauf sei, und welcher Function er etwa zugehöre, noch
können wir im Allgemeinen entscheiden, ob ein gegebener
Werthverlauf eine gegebene Eigenschaft habe, wenn wir nicht
wissen, dass diese Eigenschaft verbunden sei mit einer
Eigenschaft der zugehörigen Function. Nehmen wir an, es sei
eine Function, welche niemals denselben Werth für
verschiedene Argumente erhält, so gilt für die Gegenstände, deren
Namen die Form 
haben, ganz dasselbe Kennzeichen zur Wiedererkennung wie für die
Gegenstände, deren Zeichen die Form 
haben. Es ist dann nämlich auch 
gleichbedeutend mit 
.
Hieraus geht hervor, dass durch die Gleichsetzung der Bedeutung
von 
mit
der von 
die Bedeutung eines Namens wie 
keineswegs völlig bestimmt ist, wenigstens, wenn es eine solche
Function Χ(ξ) giebt, deren Werth
für einen Werthverlauf als Argument diesem selbst nicht immer
gleich ist. Wie wird nun diese Unbestimmtheit aufgehoben?
Dadurch, dass für jede Function bei ihrer Einführung bestimmt
wird, welche Werthe sie für Werthverläufe als Argumente erhält,
ebenso wie für alle andern Argumente. Thun wir dies für die
bisher betrachteten Functionen! Es sind folgende:
Die letzte kann ausser Betracht bleiben, da als ihr
Argument immer ein Wahrheitswerth betrachtet werden kann. Es
macht ja bei ihr keinen Unterschied, ob man als Argument einen
Gegenstand nimmt oder den Werth, den die Function —ξ für diesen Gegenstand als Argument hat. Wir
können nun noch die Function —ξ auf
die Function ξ=ζ zurückführen. Nach unsern
Festsetzungen hat nämlich die Function ξ=(ξ=ξ) für jedes Argument denselben Werth
wie die Function —ξ; denn der Werth
der Function ξ=ξ ist für jedes Argument das Wahre.
Daraus folgt, dass
Seite
17
der Werth der Function ξ=(ξ=ξ) nur
für das Wahre als Argument das Wahre ist, und dass er für alle
andern Argumente das Falsche ist, grade wie bei der Function
—ξ. Nachdem so Alles auf die
Betrachtung der Function ξ=ζ zurückgeführt ist, fragen wir, welche
Werthe diese habe, wenn ein Werthverlauf als Argument auftritt.
Da wir bisher nur die Wahrheitswerthe und Werthverläufe als
Gegenstände eingeführt haben, so kann es sich nur darum handeln,
ob einer der Wahrheitswerthe etwa ein Werthverlauf sei. Wenn das
nicht der Fall ist, so ist damit auch entschieden, dass der Werth
der Function ξ=ζ immer das Falsche ist, wenn als eins
ihrer Argumente ein Wahrheitswerth und als anderes ein
Werthverlauf genommen wird. Wenn andrerseits das Wahre zugleich
der Werthverlauf der Function Φ(ξ)
ist, so ist damit auch entschieden, was der Werth der Function
ξ=ζ
in allen Fällen ist, wo als eins der Argumente das Wahre genommen
wird, und ähnlich so verhält es sich, wenn das Falsche zugleich
der Werthverlauf einer gewissen Function ist. Die Frage nun, ob
einer der Wahrheitswerthe ein Werthverlauf sei, kann unmöglich
daraus entschieden werden, dass 
dieselbe Bedeutung haben soll wie 
. Es
ist möglich, allgemein festzusetzen, dass 
dasselbe bedeuten solle wie 
,
ohne dass daraus die Gleichheit von 
und
erschlossen werden kann. Wir hätten dann etwa eine Klasse von
Gegenständen, die Namen von der Form 
hätten und für deren Unterscheidung und Wiedererkennung dasselbe
Kennzeichen gälte wie für die Werthverläufe. Wir könnten nun die
Function Χ(ξ) dadurch bestimmen,
dass wir sagten, ihr Werth solle das Wahre sein für 
als
Argument und er solle 
sein für das Wahre als Argument; der Werth der Function
Χ(ξ) solle ferner das Falsche sein
für das Argument 
und er solle 
sein für das Falsche als Argument; für jedes andere Argument
solle der Werth der Function Χ(ξ)
Korrektur innerhalb des
Formelteils: funcarg [Rev.: thiel] mit diesem
selbst zusammenfallen. Wenn nun die Functionen Λ(ξ) und Μ(ξ)
nicht immer für dasselbe Argument denselben Werth haben, so hat
unsere Function Χ(ξ) für
verschiedene Argumente nie denselben Werth, und daher ist dann
auch 
immer gleichbedeutend mit 
.
Die Gegenstände, deren Namen die Form 
hätten, würden dann also durch dasselbe Mittel wiedererkannt wie
die Werthverläufe, und es wäre 
das Wahre und 
das Falsche. Ohne also mit der Gleichsetzung von 
mit
in
Widerspruch zu gerathen, ist es immer möglich zu bestimmen, dass
ein beliebiger Werthverlauf das Wahre und ein beliebiger anderer
das Falsche sein solle. Setzen wir demnach fest, dass
das
Wahre und dass 
das Falsche sein solle! 
ist der Werthverlauf der Function —ξ, deren Werth nur dann das Wahre ist, wenn
das Argument das Wahre ist, und deren Werth für alle andern
Argumente das Falsche ist. Alle Functionen, von denen dies gilt,
haben
Seite
18
denselben Werthverlauf und dieser ist nach unserer Festsetzung
das Wahre. Demnach ist 
nur dann das Wahre, wenn die Function Φ(ξ) ein Begriff ist, unter den nur das Wahre
fällt; in allen andern Fällen ist 
das
Falsche. Ferner ist 
der Werthverlauf der Function 
,
deren Werth nur dann das Wahre ist, wenn das Argument das Falsche
ist, und deren Werth für alle andern Argumente das Falsche ist.
Alle Functionen, von denen dies gilt, haben denselben
Werthverlauf, und dieser ist nach unserer Festsetzung das
Falsche. Jeder Begriff also, unter den das Falsche und nur dieses
fällt, hat als Begriffsumfang das Falsche. Wir
haben hiermit die Werthverläufe so
weit bestimmt, als es hier möglich ist. Erst wenn es sich ferner
darum handeln sollte, eine Function einzuführen, welche auf die
bisher bekannten Functionen nicht ganz zurückführbar ist, können
wir festsetzen, welche Werthe sie für Werthverläufe als Argumente
haben solle; und dies kann dann ebenso wohl als eine Bestimmung
der Werthverläufe wie jener Function angesehen werden.
1 Damit ist nicht gesagt, dass der Sinn
derselbe sei.
1 Es liegt nahe, unsere Festsetzung so
zu verallgemeinern, dass jeder Gegenstand als Werthverlauf
aufgefasst werde, nämlich als Umfang eines Begriffes, unter den
er als einziger Gegenstand fällt Ein Begriff, unter den der
Gegenstand Δ als einziger fällt,
ist Δ=ξ. Wir versuchen die Festsetzung: es
sei 
dasselbe wie Δ. Eine solche ist für
jeden Gegenstand möglich, der uns unabhängig von Werthverläufen
gegeben ist, aus demselben Grunde, den wir bei den
Wahrheitswerthen gesehen haben. Aber ehe wir diese Festsetzung
allgemein machen dürfen, fragt es sich, ob sie nicht in
Widerspruch mit unserm Wiedererkennungszeichen der Werthverläufe
stehe, wenn wir für Δ einen
Gegenstand nehmen, der uns schon als Werthverlauf gegeben ist. Es
geht nämlich nicht an, sie nur für solche Gegenstände gelten zu
lassen, welche uns nicht als Werthverläufe gegeben sind, weil die
Weise wie ein Gegenstand gegeben ist, nicht als dessen
unveränderliche Eigenschaft angesehen werden darf, sintemal
derselbe Gegenstand in verschiedener Weise gegeben werden kann.
Setzen wir also für ‚Δ‘
ein,
so erhalten wir 
und dies wäre gleichbedeutend mit
was aber nur dann das Wahre bedeutet, wenn
Φ(ξ) ein Begriff ist, unter den nur
ein einziger Gegenstand, nämlich 
fällt. Da dies nicht nothwendig ist, so kann unsere Festsetzung
in ihrer Allgemeinheit nicht aufrecht erhalten
bleiben.
Die Gleichung
mit
der wir jene Festsetzung versuchten, ist ein besonderer Fall von
, und
man kann fragen, wie die Function Ω(ξ,
ζ) beschaffen sein müsse, damit allgemein bestimmt werden
dürfe, es solle Δ dasselbe sein wie
.
Dann muss auch 
das Wahre sein, mithin auch 
was auch Φ(ξ) für eine Function sei. Eine Function von
dieser Eigenschaft werden wir später in ξ◠ζ
kennen lernen; aber wir werden sie mit Hilfe des Werthverlaufs
definiren, sodass sie uns hier nichts nützen kann.
