§ 8. Wir betrachteten in § 3 den Fall, dass eine Gleichung wie immer einen Namen des Wahren ergiebt, was für einen Eigennamen wir auch für ‚x‘ einsetzen mögen, sofern dieser nur wirklich einen Gegenstand bedeutet. Wir haben dann die Allgemeinheit einer Gleichheit, während wir in ‚2²=4‘ nur eine Gleichheit haben. Dieser Unterschied macht sich dadurch bemerklich, dass wir in jenem Falle einen nur unbestimmt andeutenden Buchstaben ‚x‘ haben, während in ‚2²=4‘ jedes Zeichen eine bestimmte Bedeutung hat. Um einen Ausdruck für die Allgemeinheit zu erhalten, könnte man auf den Gedanken kommen, zu definiren: „Unter Φ(x) werde das Wahre verstanden, wenn der Werth der Function Φ(ξ) für jedes Argument das Wahre ist; sonst bedeute es das Falsche.“ Vorausgesetzt würde hierbei wie bei allen unsern Betrachtungen ähnlicher Art sein, dass ‚Φ(ξ)‘ immer eine Bedeutung gewinne, wenn wir in ihm ‚ξ‘ durch einen Namen ersetzen, der einen Gegenstand bedeutet. Sonst würde ich Φ(ξ) nicht Function nennen. Danach bedeutete dann ‚x.(x−1)=x²−x Korrektur innerhalb des Formelteils: atomic [Rev.: thiel]^#‘ das Wahre, wenigstens wenn die Bezeichnungen der Multiplication, Subtraction und Quadrirung auch für Gegenstände, die nicht Zahlen sind, so definirt wären, dass die Gleichung allgemein gälte. Dagegen bedeutete ‚x.(x−1)=x²‘ das Falsche, weil wir als Bedeutung das Falsche erhalten, wenn wir für ‚x‘ ‚1‘ einsetzen, obwohl wir das Wahre erhalten, wenn wir ‚0‘ einsetzen. Aber bei dieser Festsetzung wäre das Gebiet der Allgemeinheit nicht genügend begrenzt. Man wäre z. B. im Zweifel, ob als Verneinung einer Allgemeinheit oder als Allgemeinheit einer Verneinung aufzufassen wäre; genauer: ob dies
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den Wahrheitswerth davon bedeuten solle, dass nicht für jedes Argument der Werth der Function 2+3.ξ=5.ξ das Wahre sei, oder ob es den Wahrheitswerth davon bedeuten solle, dass für jedes Argument der Werth der Function das Wahre sei. Im ersten Falle würde das Wahre bedeuten, im andern das Falsche. Es muss aber sowohl die Allgemeinheit der Verneinung, als auch die Verneinung der Allgemeinheit ausdrückbar sein. Ich drücke nun jene so aus: und die Verneinung der Allgemeinheit so: und die Allgemeinheit selbst so:

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Dies bedeutete das Wahre, wenn für jedes Argument der Werth der Function 2+3.ξ=5.ξ das Wahre wäre. Da dies nicht der Fall ist, so ist das Falsche, und darum ist das Wahre. ist das Falsche, weil nicht für jedes Argument der Werth der Function das Wahre ist; denn für das Argument 1 ist er das Falsche. Mithin ist das Wahre, und besagt: es giebt mindestens eine Lösung der Gleichung ‚2+3.x=5.x‘. Ebenso:

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in Worten: es giebt mindestens eine Quadratwurzel aus 1. Man erkennt hieraus, wie das ‚es giebt‘ in der Begriffsschrift wiedergegeben wird.  Wenn wir nun erklären:

1. es bedeute das Wahre, wenn der Werth der Function Φ(ξ) für jedes Argument das Wahre ist, und sonst das Falsche;

so bedarf dies einer Ergänzung, indem genauer anzugeben ist, welches in jedem Falle diese Function Φ(ξ) sei. Wir wollen sie die zugehörige Function nennen. Es können nämlich Zweifel entstehen. Δ=Δ ist sowohl der Werth der Function Δ=ξ, als auch der Werth der Function ξ=ξ, beide Male für das Argument Δ. So könnte man von ausgehend als zugehörige Function ξ=a, a=ξ oder ξ=ξ annehmen
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wollen. Aber bei unserm Gebrauche der deutschen Buchstaben hätten wir in den ersten beiden Fällen gar keine Function, weil ‚ξ=a‘ und ‚a=ξ‘ immer bedeutungslos bleiben, was man auch für ‚ξ‘ einsetzen möge; denn der deutsche Buchstabe ‚a‘ darf ausser in selbst nicht ohne vorgesetztes vorkommen. Hier kann also nur ‚ξ=ξ‘ als zugehörige Function in Betracht kommen. Nicht so einfach ist die Sache bei einem Ausdrucke wie Wenn man blindlings vorginge, könnte man in die zugehörige Function zu haben meinen. Wir wollen nun sagen, ‚a‘ stehe in über der Höhlung. Die Stelle über der Höhlung ist nie eine Argumentstelle; das über der zweiten Höhlung stehende ‚a‘ wird also mindestens zu bewahren sein. Da aber auf immer eine Zeichenverbindung folgen muss, die ‚a‘ enthält, so muss ‚a‘ auch mindestens an einer der beiden Stellen in ‚a=a‘ bewahrt bleiben. Man könnte demnach auf folgende Functionen als zugehörige rathen

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,

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aber den ersten beiden Auffassungen widerspricht, dass die Bedeutung des in vorkommenden schon feststeht und nicht wieder in Frage gestellt werden darf.  Wir nennen nun das auf eine Höhlung mit einem deutschen Buchstaben Folgende, das mit eben dieser Höhlung zusammen den Namen des Wahrheitswerthes dafür bildet, dass der Werth der zugehörigen Function für jedes Argument das Wahre sei, das Gebiet des über der Höhlung stehenden deutschen Buchstaben. Die zugehörige Function wird nun durch die Regel bestimmt:

1. Alle Stellen, an denen ein deutscher Buchstabe in seinem Gebiet, jedoch weder in einem eingeschlossenen Gebiete desselben Buchstaben noch über einer Höhlung vorkommt, sind verwandte Argumentstellen, und zwar die der zugehörigen Function.

  Wenn man aber den Wahrheitswerth davon bezeichnen will, dass die Function für jedes Argument das Wahre als Werth habe, so wird man einen andern deutschen Buchstaben wählen:

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  Ich fasse dies in die Regel:

2. Wenn in dem Namen einer Function schon deutsche Buchstaben vorkommen, in deren Gebieten Argumentstellen dieser Function liegen, so wähle man einen von diesen verschiedenen, um den zugehörigen Allgemeinheitsausdruck zu bilden.

  Nach unsern Bestimmungen ist im Allgemeinen ein deutscher Buchstabe so gut wie ein anderer, jedoch mit der Beschränkung, dass die Verschiedenheit dieser Buchstaben wesentlich sein kann. Für einige deutsche Buchstaben werden wir später eine etwas abweichende Verwendungsweise festsetzen. bedeutet dasselbe wie und wie

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Ich fasse darum die wagerechten Striche links und rechts von der Höhlung in als Wagerechte in unserm besondern Sinne des Wortes auf, sodass wir mit Verschmelzung der Wagerechten von den Formen und sogleich übergehen zu .